Quando estudamos o crescimento exponencial de um organismo (como cianobactérias), se a taxa de crescimento for de $6,25\%$, o número após $x$ dias pode ser expresso por $y = (1+6,25\%)^x$. E se $x$ não for um número inteiro (por exemplo, 1,5 dias), essa fórmula ainda terá significado? Para responder a essa pergunta, precisamos estender a definição de potência dos números inteiros para os racionais e até os reais — isso é uma necessidade obrigatória da expansão do sistema numérico.
Raízes enésimas e potências fracionárias
Definição de raiz enésima: Em geral, se $x^n = a$, então $x$ é chamado de raiz enésima de $a$, onde $n > 1$ e $n \in \mathbf{N}^*$. A expressão $\sqrt[n]{a}$ é chamada de radical.
Potência fracionária: Para unificar as propriedades operatórias, definimos que a potência fracionária positiva de um número positivo é: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ (com $a > 0$). Isso significa que todos os radicais podem ser convertidos em forma de potência para realizar operações.
O radical é a manifestação da operação de potência no domínio fracionário. Ao definir a potência fracionária, eliminamos a fronteira entre o sinal radical e o expoente, permitindo que as propriedades operatórias sejam unificadas.
$$(\sqrt[n]{a})^n = a, \quad \sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}} \text{ (com } b > 0)$$